Tipos de funções

Os tipos de funções são definidos com base no domínio, intervalo e expressão da função. A expressão usada para escrever a função é o principal fator de definição para uma função. Juntamente com a expressão, a relação entre os elementos do conjunto de domínios e o conjunto de intervalos também leva em conta o tipo de função. A classificação de funções ajuda a entender e aprender facilmente os diferentes tipos de funções.

Cada expressão matemática que tem um valor de entrada e uma resposta resultante pode ser convenientemente apresentada como uma função. Aqui vamos aprender sobre os tipos de funções e sua definição, exemplos.

Quais são os diferentes tipos de funções?

A função y = f(x) é classificada em diferentes tipos de funções, com base em fatores como o domínio e a imagem de uma função e a expressão da função. As funções têm um valor de domínio x que é referido como entrada. O valor do domínio pode ser um número, ângulo, decimal, fração. Da mesma forma, o valor y ou o valor f(x) (geralmente um valor numérico) é o intervalo. Os tipos de funções foram classificados nos quatro tipos a seguir.

Representação de Funções

Existem três formas diferentes de representação de funções. As funções precisam ser representadas para mostrar os valores de domínio e os valores de intervalo e a relação entre eles. As funções podem ser representadas com a ajuda de diagramas de Venn, formatos gráficos e formulários de lista. Os detalhes de cada uma das formas de representação são os seguintes.

Diagrama de Venn: O diagrama de Venn é um formato importante para representar a função. Os diagramas de Venn são geralmente apresentados como dois círculos com setas conectando o elemento em cada um dos círculos. O domínio é apresentado em um círculo e os valores do intervalo são apresentados em outro círculo. E a função define as setas e como as setas conectam os diferentes elementos nos dois círculos.

Forma Gráfica: As funções são fáceis de entender se forem representadas na forma gráfica com a ajuda dos eixos de coordenadas . Representar a função em forma gráfica nos ajuda a entender a mudança de comportamento das funções se a função estiver aumentando ou diminuindo. O domínio da função - o valor x é representado ao longo do eixo x, e o intervalo ou o valor f(x) da função é plotado em relação ao eixo y.

Forma de lista:A notação de lista de um conjunto é uma representação matemática simples do conjunto em forma matemática. O domínio e o intervalo da função são representados entre colchetes de flores com o primeiro elemento de um par representando o domínio e o segundo elemento representando o intervalo.

Vamos tentar entender isso com a ajuda de um exemplo simples. Para uma função da forma f(x) = x2, a função é representada como {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16)}. Aqui o primeiro elemento é o domínio ou o valor x e o segundo elemento é o intervalo ou o valor f(x) da função.

Lista de tipos de funções

Os tipos de funções são classificados para facilitar a compreensão e o aprendizado. Os tipos de funções foram ainda classificados em quatro tipos diferentes e são apresentados a seguir.

Baseado em Elementos
  • Função injetora
  • Função muitos para um elemento
  • Função sobrejetiva
  • Função Constante
Com base na equação
  • Função de identidade
  • Função linear
  • Função quadrática
  • Função Cúbica
  • Funções polinomiais
Com base no intervalo
  • Função Módular
  • Função racional
  • Função Signum/Sinal
  • Funções pares e ímpares
  • Funções periódicas
  • Função de maior inteiro
  • Função inversa
  • Funções compostas
Com base no domínio
  • Funções Algébricas
  • Funções trigonométricas
  • Funções logarítmicas

Tipos de funções - com base em elementos de conjunto

Esses tipos de funções são classificados com base no número de relacionamentos entre os elementos do domínio e do contradomínio. Os diferentes tipos de funções baseadas em elementos de conjunto são os seguintes.

Função injetora

Uma função injetora é definida por f: A → B tal que todo elemento do conjunto A está conectado a um elemento distinto no conjunto B. A função injetora também é chamada de função injetiva. Aqui cada elemento do domínio tem uma imagem distinta ou elemento de co-domínio para a função dada.

O que é considerado ou não uma função

Função sobrejetiva

Em uma função sobrejetiva , todo elemento de contradomínio está relacionado ao elemento de domínio. Para uma função definida por f: A → B, tal que todo elemento no conjunto B tem uma pré-imagem no conjunto A

Função bijetiva

Em uma função bijetiva, cada elemento do domínio está conectado a um elemento distinto no contradomínio e cada elemento do contradomínio tem uma pré-imagem. Também em outras palavras, todo elemento do conjunto A está conectado a um elemento distinto no conjunto B, e não há um único elemento no conjunto B que tenha sido deixado de fora.

Função Constante

Uma função constante é uma forma importante de uma função muitos para um. Em uma função constante, todos os elementos do domínio têm uma única imagem. A função constante é da forma f(x) = K, onde K é um número real. Para os diferentes valores do domínio (valor x), o mesmo valor de intervalo de K é obtido para uma função constante.

Tipos de função - com base na equação

As expressões algébricas também são funções e são baseadas no grau do polinômio. As funções baseadas em equações são classificadas nas seguintes equações com base no grau da variável 'x'.

Vamos entender cada uma dessas funções em detalhes.

Função identidade

A função identidade tem o mesmo domínio e imagem. A equação da função identidade é f(x) = x, ou y = x. O domínio e a imagem da função identidade são da forma {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)....(n, n)}.

O gráfico da função identidade é uma linha reta que é igualmente inclinada em relação aos eixos coordenados e passa pela origem. A função identidade pode assumir valores positivos e negativos e, portanto, está presente no primeiro e no terceiro quadrantes do eixo de coordenadas.

Função linear

Uma função polinomial com a equação de primeiro grau é uma função linear. O domínio e a imagem de uma função linear é um número real e tem um gráfico de linha reta. Equações como y = x + 2, y = 3x, y = 2x - 1, são exemplos de funções lineares. A função identidade de y = x também pode ser considerada uma função linear.

A forma geral de uma função linear é f(x) = ax + b, é usada para representar funções objetivo em problemas de programação linear. Aqui x, y são variáveis ​​e a, b são números reais. Graficamente a função linear pode ser representada pela equação de uma linha y = mx + c, onde m é a inclinação da linha ec é a intersecção com y da linha.

Função quadrática

Uma função quadrática tem uma equação quadrática de segundo grau e tem um gráfico na forma de uma curva. A forma geral da função quadrática é f(x) = ax2 + bx + c, onde a ≠ 0 e a, b, c são constantes e x é uma variável. O domínio e imagem da função quadrática é R.

O gráfico de uma equação quadrática é um gráfico não linear e tem forma parabólica. Exemplos de funções quadráticas são f(x) = 3x2 + 5, f(x) = x2 - 3x + 2.

Função Cúbica

Uma função cúbica tem uma equação de grau três. A forma geral de uma função cúbica é f(x) = ax3 + bx2 + cx +d, onde a ≠ 0 e a, b, c e d são números reais & x é uma variável. O domínio e imagem de uma função cúbica é R.

O gráfico de uma função cúbica é mais curvo que a função quadrática.

Um exemplo de função cúbica é f(x) = 8x3 + 5x2 + 3.

Função polinomial

A forma geral de uma função polinomial é f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2+ ..... ax + b. Aqui n é um inteiro não negativo e x é uma variável. O domínio e a imagem de uma função polinomial são R. Com base na potência da função polinomial, as funções podem ser classificadas como função quadrática, função cúbica, etc.

Tipos de funções - com base no intervalo

Aqui os tipos de funções foram classificados com base no intervalo que é obtido das funções dadas. Os diferentes tipos de funções com base no intervalo são os seguintes.

Função Módular

A função módular fornece o valor absoluto da função, independentemente do sinal do valor do domínio de entrada. A função módulo é representada como f(x) = |x|. O valor de entrada de 'x' pode ser uma expressão positiva ou negativa. O gráfico de uma função de módulo está no primeiro e no segundo quadrantes, pois as coordenadas dos pontos no gráfico são da forma (x, y), (-x, y).

Função racional

Uma função que é composta de duas funções e expressa na forma de uma fração é uma função racional. Uma fração racional é da forma f(x)/g(x), eg(x) ≠ 0. As funções usadas nesta função racional podem ser uma função algébrica ou qualquer outra função. A representação gráfica dessas funções racionais é semelhante às assíntotas, pois não toca as linhas do eixo.

Função Signum ou função sinal

A função signum nos ajuda a conhecer o sinal da função e não fornece o valor numérico ou qualquer outro valor para o intervalo. O intervalo da função signum é limitado a {-1, 0, 1}. Para o valor positivo do domínio, a função signum dá uma resposta de 1, para valores negativos a função signum dá uma resposta de -1, e para o valor 0 de um domínio, a imagem é 0. A função signum tem ampla aplicação na programação de software.

Função par e ímpar

As funções pares e ímpares são baseadas na relação entre os valores de entrada e saída da função. Para o valor de domínio negativo, se o intervalo for um valor negativo do intervalo da função original, então a função é uma função ímpar. E para o valor de domínio negativo, se o intervalo for o mesmo que o da função original, então a função é uma função par.

Se f(-x) = f(x), para todos os valores de x, então a função é uma função par, e se f(-x) = -f(x), para todos os valores de x, então a função é uma função ímpar. Um exemplo de funções pares são x 2, Cosx, Secx, e um exemplo de funções ímpares são x 3, Sinx, Tanx.

Função periódica

A função é considerada uma função periódica se o mesmo intervalo aparece para diferentes valores de domínio e de forma sequencial. As funções trigonométricas podem ser consideradas funções periódicas . Por exemplo, a função f(x) = Sinx, tem um intervalo [-1, 1] para os diferentes valores de domínio de x = nπ + (-1) n x. Da mesma forma, podemos escrever o domínio e a imagem das funções trigonométricas e provar que a imagem aparece de maneira periódica.

Função inversa

A inversa de uma função f(x) é denotada por f -1 (x). Para a inversa de uma função, o domínio e a imagem da função dada são alterados como a imagem e o domínio da função inversa. A inversa de uma função pode ser vista com destaque em funções algébricas e em funções trigonométricas inversas. O domínio de Sinx é R e sua imagem é [-1, 1], e para Sin-1 x o domínio é [-1, 1] e a imagem é R. A inversa de uma função existe, se for bijetiva função.

Se uma função f(x) = x 2, então o inverso da função é f -1 (x) = √x.

Função de maior inteiro

A função de maior inteiro também é conhecida como função degrau. A função de maior inteiro arredonda o número para o inteiro mais próximo menor ou igual ao número fornecido. Claramente, a variável de entrada x pode assumir qualquer valor real. No entanto, a saída será sempre um número inteiro. Além disso, todos os inteiros ocorrerão no conjunto de saída. Assim, o domínio desta função é de números reais R, enquanto seu intervalo é de inteiros (Z).

Função composta

As funções compostas são da forma de gof(x), fog(x), h(g(f(x))), e são feitas das funções individuais de f(x), g(x), h(x) ). As funções compostas feitas de duas funções têm o intervalo de uma função formando o domínio de outra função. Consideremos uma função composta fog(x), que é composta por duas funções f(x) eg(x).

Aqui escrevemos fog(x) = f(g(x)). A imagem de g(x) forma o domínio da função f(x). Pode ser considerado como uma sequência de duas funções. Se f(x) = 2x + 3 e g(x) = x + 1 temos névoa(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = 2(x + 1) + 3 = 2x + 5.

Tipos de funções - com base no domínio

As funções são usadas em todos os outros tópicos de matemática. As funções foram classificadas com base nos tipos de equações usadas para definir as funções. As equações de função geralmente têm expressões algébricas, funções trigonométricas, logaritmos, expoentes e, portanto, são nomeadas com base nesses valores de domínio. Os três tipos amplos de funções com base no valor de domínio são os seguintes.

Função Algébrica

Uma função algébrica é útil para definir as várias operações da álgebra. A função algébrica tem uma variável, um coeficiente, um termo constante e vários operadores aritméticos, como adição, subtração, multiplicação, divisão. Uma função algébrica é geralmente da forma de f(x) = anxn + an - 1xn - 1+ an-2xn-2+ ....... ax + c.

A função algébrica também pode ser representada graficamente. A função algébrica também é denominada como função linear, função quadrática, função cúbica, função polinomial, com base no grau da equação algébrica.

Funções trigonométricas

As funções trigonométricas também têm domínio e imagem semelhantes a qualquer outra função. As seis funções trigonométricas são f(θ) = senθ, f(θ) = cosθ, f(θ) = tanθ, f(θ) = secθ, f(θ) = cosecθ. Aqui o valor do domínio θ é o ângulo e está em graus ou radianos. Essas funções trigonométricas foram tomadas com base na razão dos lados de um triângulo retângulo e são baseadas no teorema de Pitágoras.

Além dessas funções trigonométricas, funções trigonométricas inversas também foram derivadas. O domínio da função trigonométrica inversa é um valor de número real e seu alcance é um ângulo. As funções trigonométricas e as funções trigonométricas inversas também são às vezes chamadas de funções periódicas, uma vez que os valores principais são repetidos.

Funções logarítmicas

As funções logarítmicas foram derivadas das funções exponenciais. As funções logarítmicas são consideradas como o inverso das funções exponenciais. As funções logarítmicas têm um 'log' na função e tem uma base. A função logarítmica é da forma y = registroax.Aqui o valor do domínio é o valor de entrada de 'x' e é calculado usando a tabela logarítmica Napier. A função logarítmica dá o número de vezes exponencial ao qual a base foi elevada para obter o valor de x. A mesma função logarítmica pode ser expressa como uma função exponencial como x = a y.

 Gráficos de funções na matemática